愛知教育大学
2013年 理系 第8問

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  4. 2013年 - 理系 - 第8問
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Oを原点とする座標平面上を動く点Pの時刻tにおける座標P(x(t),y(t))が{\begin{array}{l}x(t)=e^tcost\y(t)=e^tsint\end{array}.で与えられている．(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルベクトルv_1(t)=(x´(t),y´(t))は，ある2×2行列Aによって(\begin{array}{c}x´(t)\y´(t)\end{array})=A(\begin{array}{c}x(t)\y(t)\end{array})と表すことができる．この行列Aを求めよ．(2)Pの各座標の時刻tによるn次導関数を成分とするベクトルをベクトルv_n(t)=(x^{(n)}(t),y^{(n)}(t))とおく．このとき，n≧1に対し，(\begin{array}{c}x^{(n)}(t)\y^{(n)}(t)\end{array})=A^n(\begin{array}{c}x(t)\y(t)\end{array})となることを，数学的帰納法を用いて示せ．(3)ベクトルv_{2013}(π)を求めよ．
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広島大学(2011) 理系 第1問
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