防衛医科大学校
2013年 医学部 第4問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第4問
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X_1=(\begin{array}{cc}1&2\-2&1\end{array})，X_2=(\begin{array}{cc}6&5\1&3\end{array})，\begin{array}{r}X_n=(\begin{array}{cc}9/4&3/2\-1/2&1/2\end{array})X_{n-1}-(\begin{array}{cc}5/4&3/2\-1/2&-1/2\end{array})X_{n-2}+(\begin{array}{cc}1/4&3/2\-1/2&-3/2\end{array})\\(n=3,4,5,・・・)\end{array}で定義される2次の正方行列の列がある．このとき，以下の問に答えよ．(1)A=(\begin{array}{cc}1&0\1&0\end{array})，B=(\begin{array}{cc}0&0\-1&1\end{array})，C=(\begin{array}{cc}5/4&3/2\-1/2&-1/2\end{array})，P=(\begin{array}{cc}2&3\1&1\end{array})とする．C=P^{-1}(kA+lB)Pを満たす実数kとlを求めよ．(2)C+C^2+・・・+C^n=(\begin{array}{cc}α_n&β_n\γ_n&\delta_n\end{array})(n=1,2,3,・・・)とする．このとき，極限値\lim_{n→∞}α_n，\lim_{n→∞}β_n，\lim_{n→∞}γ_n，\lim_{n→∞}\delta_nを求めよ．(3)X_n=(\begin{array}{cc}a_n&b_n\c_n&d_n\end{array})(n=1,2,3,・・・)としたとき，極限値\lim_{n→∞}a_n，\lim_{n→∞}b_n，\lim_{n→∞}c_n，\lim_{n→∞}d_nが存在するかどうかを考察し，存在する場合はその値を求めよ．
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