センター試験
2011年 数学IIB 第3問
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![数直線上で点Pに実数aが対応しているとき，aを点Pの座標といい，座標がaである点PをP(a)で表す．数直線上に点P_1(1)，P_2(2)をとる．線分P_1P_2を3:1に内分する点をP_3とする．一般に，自然数nに対して，線分P_nP_{n+1}を3:1に内分する点をP_{n+2}とする．点P_nの座標をx_nとする．x_1=1,x_2=2であり，x_3=\frac{[ア]}{[イ]}である．数列{x_n}の一般項を求めるために，この数列の階差数列を考えよう．自然数nに対してy_n=x_{n+1}-x_nとする．y_1=[ウ],y_{n+1}=\frac{[エオ]}{[カ]}y_n(n=1,2,3,・・・)である．したがって，y_n=(\frac{[エオ]}{[カ]})^{[キ]}(n=1,2,3,・・・)でありx_n=\frac{[ク]}{[ケ]}-\frac{[コ]}{[ケ]}(\frac{[エオ]}{[カ]})^{[サ]}(n=1,2,3,・・・)となる．ただし，[キ]，[サ]については，当てはまるものを，次の\nagamarurei～\nagamarusanのうちから一つずつ選べ．同じものを繰り返し選んでもよい．\nagamarurein-1\qquad\nagamaruichin\qquad\nagamarunin+1\qquad\nagamarusann+2次に，自然数nに対してS_n=Σ_{k=1}^nk|y_k|を求めよう．r=|\frac{[エオ|]{[カ]}}とおくとS_n-rS_n=Σ_{k=1}^{[シ]}r^{k-1}-nr^{[ス]}(n=1,2,3,・・・)であり，したがってS_n=\frac{[セソ]}{[タ]}{1-(\frac{1}{[チ]})^{[ツ]}}-\frac{n}{[テ]}(\frac{1}{[ト]})^{[ナ]}となる．ただし，[シ]，[ス]，[ツ]，[ナ]については，当てはまるものを，次の\nagamarurei～\nagamarusanのうちから一つずつ選べ．同じものを繰り返し選んでもよい．\nagamarurein-1\qquad\nagamaruichin\qquad\nagamarunin+1\qquad\nagamarusann+2](./thumb/9999/2951/2011_3.png?1)
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