センター試験
2011年 数学IIB 第4問
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![四角錐OABCDにおいて，三角形OBCと三角形OADは合同で，OB=1，BC=2，OC=√3であり，底面の四角形ABCDは長方形である．AB=2rとおき，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおく．ベクトルODをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表すとベクトルOD=\overrightarrow{[ア]}-\overrightarrow{[イ]}+ベクトルcである．辺ODを1:2に内分する点をLとするとベクトルAL=-\frac{[ウ]}{[エ]}ベクトルa-\frac{[オ]}{[エ]}ベクトルb+\frac{[カ]}{[エ]}ベクトルcとなる．さらに辺OBの中点をM，3点A，L，Mの定める平面をαとし，平面αと辺OCとの交点をNとする．点Nは平面α上にあることから，ベクトルANは実数s,tを用いてベクトルAN=sベクトルAL+tベクトルAMと表されるのでベクトルON=([キ]-\frac{[ク]}{[ケ]}s-t)ベクトルa+(-\frac{s}{[コ]}+\frac{t}{[サ]})ベクトルb+\frac{s}{[シ]}ベクトルcとなる．一方，点Nは辺OC上にもある．これらから，ベクトルON=\frac{[ス]}{[セ]}ベクトルcとなる．また，ベクトルa・ベクトルb=[ソ]-[タ]r^2，ベクトルb・ベクトルc=[チ]，ベクトルa・ベクトルc=[ツテ]r^2である．よって，ベクトルAM・ベクトルMNを計算すると，AB=\sqrt{[ト]}のとき，直線AMと直線MNは垂直になることがわかる．\newpage(1)(ab+1)(a+1)(b+1)+abを因数分解せよ．\mon[（与式）]=(ab+1)(ab+a+b+1)+ab\temarkb後の2つを展開=a^2b^2+a^2b+ab^2+ab+ab+a+b+1+ab\temarkb残りを展開=(b^2+b)a^2+(b^2+3b+1)a+b+1\temarkbaについての降べきの順=\biggl{(b+1)a+1\biggr}\biggl{ba+(b+1)\biggr}\temarkbたすきがけする=(ab+a+1)(ab+b+1)\venzn(b+1)\qquad\qquad1\phantom{AAA}{\Huge×}\qquad\phantom{AAA}\phantom{AA}b\qquad\qquad(b+1)](./thumb/9999/2951/2011_4.png?1)
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