センター試験
2015年 数学IIB 第2問
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![次の問いに答えよ．(1)関数f(x)=1/2x^2のx=aにおける微分係数f´(a)を求めよう．hが0でないとき，xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+\frac{h}{[イ]}である．したがって，求める微分係数はf´(a)=\lim_{h→\mkakko{ウ}}([ア]+\frac{h}{[イ]})=[エ]である．(2)放物線y=1/2x^2をCとし，C上に点P(a,1/2a^2)をとる．ただし，a＞0とする．点PにおけるCの接線ℓの方程式はy=[オ]x-\frac{1}{[カ]}a^2である．直線ℓとx軸との交点Qの座標は(\frac{[キ]}{[ク]},0)である．点Qを通りℓに垂直な直線をmとすると，mの方程式はy=\frac{[ケコ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]}である．直線mとy軸との交点をAとする．三角形APQの面積をSとおくとS=\frac{a(a^2+[セ])}{[ソ]}となる．また，y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくとT=\frac{a(a^2+[タ])}{[チツ]}となる．a＞0の範囲におけるS-Tの値について調べよう．S-T=\frac{a(a^2-[テ])}{[トナ]}である．a＞0であるから，S-T＞0となるようなaのとり得る値の範囲はa＞\sqrt{[ニ]}である．また，a＞0のときのS-Tの増減を調べると，S-Tはa=[ヌ]で最小値\frac{[ネノ]}{[ハヒ]}をとることがわかる．](./thumb/9999/2951/2015_2.png?1)
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