センター試験
2015年 数学IIB 第3問
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![自然数nに対し，2^nの一の位の数をa_nとする．また，数列{b_n}はb_1=1,b_{n+1}=\frac{a_nb_n}{4}(n=1,2,3,・・・)・・・・・・①を満たすとする．(1)a_1=2，a_2=[ア]，a_3=[イ]，a_4=[ウ]，a_5=[エ]である．このことから，すべての自然数nに対して，a_{\mkakko{オ}}=a_nとなることがわかる．[オ]に当てはまるものを，次の\nagamarurei～\nagamarushiのうちから一つ選べ．\nagamarurei5n\nagamaruichi4n+1\nagamarunin+3\nagamarusann+4\nagamarushin+5(2)数列{b_n}の一般項を求めよう．①を繰り返し用いることによりb_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_n}{2^{\mkakko{カ}}}b_n(n=1,2,3,・・・)が成り立つことがわかる．ここで，a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_n=3・2^{\mkakko{キ}}であることから，b_{n+4}=\frac{[ク]}{[ケ]}b_nが成り立つ．このことから，自然数kに対してb_{4k-3}=(\frac{[コ]}{[サ]})^{k-1},b_{4k-2}=\frac{[シ]}{[ス]}(\frac{[コ]}{[サ]})^{k-1}b_{4k-1}=\frac{[セ]}{[ソ]}(\frac{[コ]}{[サ]})^{k-1},b_{4k}=(\frac{[コ]}{[サ]})^{k-1}である．(3)S_n=Σ_{j=1}^nb_jとおく．自然数mに対してS_{4m}=[タ](\frac{[コ]}{[サ]})^m-[チ]である．(4)積b_1b_2・・・b_nをT_nとおく．自然数kに対してb_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k}=\frac{1}{[ツ]}(\frac{[コ]}{[サ]})^{\mkakko{テ}(k-1)}であることから，自然数mに対してT_{4m}=\frac{1}{[ツ]^m}(\frac{[コ]}{[サ]})^{\mkakko{ト}m^2-\mkakko{ナ}m}である．また，T_{10}を計算すると，T_{10}=\frac{3^{\mkakko{ニ}}}{2^{[ヌネ]}}である．](./thumb/9999/2951/2015_3.png?1)
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