千葉大学
2013年 教育学部(算数・技術) 第8問

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rを1より大きい実数とする.半径1の円Cの周上に点Qをとる.最初に円Cの中心Pは座標平面の(0,1),点Qは(0,2)にあるものとし,円Cがx軸に接しながらx軸の正の方向にすべることなく転がっていく.角θラジアンだけ回転したとき,半直線PQ上にPR=rとなる点Rをとる.θを0から2πまで動かしたときのRの軌跡を考える.(1)α,βは0≦α<β≦2πをみたし,θ=αのときのRの座標とθ=βのときのRの座標とが一致するものとする.t=\frac{β-α}{2}とおくとき,rをtを用いて表せ.(2)(1)において,θをαからβまで動かしたときのRの軌跡によって囲まれた図形の面積をSとする.Sをtを用いて表せ.(3)\lim_{r→∞}\frac{S}{r^2}を求めよ.
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