千葉大学
2014年 理学部（物・化・生・地）・薬・工・先進（物・電・ナ・画・情） 第4問

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  4. 2014年 - 理学部（物・化・生・地）・薬・工・先進（物・電・ナ・画・情） - 第4問
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n,mを0以上の整数とし，I_{n,m}=∫_0^{π/2}cos^nθsin^mθdθとおく．このとき，以下の問いに答えよ．(1)n≧2のとき，I_{n,m}をI_{n-2,m+2}を使って表せ．(2)次の式I_{2n+1,2m+1}=1/2∫_0^1x^n(1-x)^mdxを示せ．(3)次の式\frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+・・・+(-1)^m\frac{\comb{m}{m}}{n+m+1}を示せ．ただし0!=1とする．
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