千葉大学
2014年 理学部(数学・情報数理) 第6問

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自然数nに対して,和S_n=1+1/2+1/3+・・・+1/nを考える.(1)各自然数nに対して2^k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき,2つの奇数a_n,b_nが存在してS_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n}と表されることを示せ.(2)n≧2のときS_nは整数にならないことを示せ.(3)さらに,自然数m,n(m<n)に対して,和S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/nを考える.S_{m,n}はどんなm,n(m<n)に対しても整数にならないことを示せ.
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