千葉大学
2014年 理学部（物・化・生・地）・薬・工・先進（物・電・ナ・画・情） 第1問

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  4. 2014年 - 理学部（物・化・生・地）・薬・工・先進（物・電・ナ・画・情） - 第1問
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袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順により証明せよ．(i)0以上の整数a，自然数bに対して，b!/a!≦b^{b-a}を示す．ただし0!=1とする．(ii)0以上10n以下の整数mに対して，\frac{p(10n,m)}{p(10n,3n)}≦1を示す．
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