千葉大学
2010年 教育学部（算数・技術） 第11問

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  4. 2010年 - 教育学部（算数・技術） - 第11問
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f(x)は実数全体で定義された関数とする．実数aに関する条件(P)を考える．(P)正の実数rを十分小さく選べば，|x-a|＜rをみたすすべての実数xに対してf(x)≦f(a)が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．(1)実数aが条件(P)をみたし，かつ，f(x)がx=aで微分可能ならば，f´(a)=0であることを証明せよ．(2)関数f(x)がf(x)={\begin{array}{ll}|x|-x&(x＜1　のとき　)\\|x^2-6x+8|&(x≧1　のとき　)\end{array}.で定義されているとき，条件(P)をみたすような実数a全体の集合を決定せよ．(3)一般に，実数全体で定義された関数f(x)に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．（命題）すべての実数aが条件(P)をみたすならば，f(x)は定数関数である．
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