千葉工業大学
2014年 工・情報科学・社シス科学 第4問

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  4. 2014年 - 工・情報科学・社シス科学 - 第4問
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xy平面上に放物線C:y=1/4x^2+4と点P(p,0)がある．ただし，p≧0とする．C上の点(p,1/4p^2+4)におけるCの接線をℓとし，ℓに関して，Pと対称な点をQ(X,Y)とするとき，次の問いに答えよ．(1)p=0のとき，Q(0,[ア])である．(2)ℓの方程式はy=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]である．線分PQの中点がℓ上にあることからY=\frac{p}{[カ]}X+[キ]・・・・・・(*)が成り立つ．(3)p＞0のとき，Qが，Pを通りℓと直交する直線上にあることからY=\frac{[クケ]}{p}X+[コ]・・・・・・(**)が成り立つ．(*)と(**)からpを消去することによりX^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0が成り立つことがわかる．(4)Xの最小値は[ソタ]であり，このときp=[チ]である．pが0から[チ]まで変化するとき，線分PQが通過する部分の面積は\frac{[ツ]}{[テ]}π+\frac{[トナ]}{[ニ]}である．
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