中央大学
2012年 理工（理数選抜） 第2問

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  4. 2012年 - 理工（理数選抜） - 第2問
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2次関数や3次関数y=f(x)から新しい関数F(x)を次のように作る．実数xに対して，f(α)=f(x)を満たす最大のαをとりF(x)=α-xと定める．例えば，f(x)=x^2の場合，実数xに対してαの方程式f(α)=f(x)はα^2=x^2であり，α=±xとなる．したがって，その2つのαのうち大きい方をとれば次を得る．x＜0のときα=-xによりF(x)=α-x=-2x=2|x|x≧0のときα=xによりF(x)=α-x=0以下ではf(x)=x^3-3b^2x(b＞0)に対して，上の操作で定めた関数F(x)を考える．(1)F(-b),F(0),F(b)の値を求めよ．(2)F(x)=0となるxの範囲を求めよ．またF(x)＞0となるxの範囲を求めよ．(3)F(x)＞0となるxに対し，f(α)=f(x)を満たす最大のαをxの式で表せ．(4)関数y=F(x)を求め，そのグラフの概形をかけ．またF(x)の最大値を求めよ．
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