中央大学
2012年 理工（理数選抜） 第3問

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  4. 2012年 - 理工（理数選抜） - 第3問
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h＞0,d≧0とし，座標空間において4点A(0,0,1)，B(0,0,-1)，C(h,0,-d)，D(0,h,d)を頂点とする四面体を考える．さらにCD=2とする．したがって，四面体の6本の辺のうち向かい合う2辺の長さは3組とも互いに等しい．つまりAB=CD,AC=BD,AD=BCとなっており，4つの面はすべて互いに合同である．この四面体ABCDについて以下の問いに答えよ．(1)hをdで表し，dのとりうる値の範囲を求めよ．点Aを通り平面BCDに垂直な直線と平面BCDの交点をPとおく．この点Pを点Aから平面BCDに下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点Bから平面ACDに下ろした垂線の足をQ，点Cから平面ABDへ下ろした垂線の足をR，点Dから平面ABCへ下ろした垂線の足をSとおく．(2)点R，Sは直線AB上にあることに注意して，R，Sの座標をdで表せ．また，四面体ABCDの対称性を考慮して，点P，Qの座標をdで表せ．さらに，計算によりベクトルAP・ベクトルBQ=0を確認せよ．(3)辺BDの長さのとりうる値の範囲を求めよ．(4)平面ABCと平面ACDが直線ACに沿って角度θ(0≦θ≦π/2)で交わっている．θのとりうる値の範囲を求めよ．ただし2平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する2直線のなす角度である．
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