中央大学
2012年 理工（一般） 第1問

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  4. 2012年 - 理工（一般） - 第1問
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を2度以上用いてもよい．a,b,r,kはa＞b＞0，r＞0，k＞0を満たす定数とする．座標平面の相異なる3点A，B，Cが円X^2+Y^2=r^2の上を動くとき，△ABCの面積S_1の最大値は次のようにして求められる．まず，2点B，Cを固定して点Aを動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，AB=ACであるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，A(0,r)，B(-rcosθ,rsinθ)，C(rcosθ,rsinθ)(-π/2＜θ＜π/2)とすればS_1の最大値はsinθ=[ア]のときS_1=[イ]r^2であることがわかる．点P(x,y)のy座標をk倍した点をP´(x,ky)とおく．相異なる3点A，B，Cの座標をA(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)としたとき，△ABCの面積Sは内積ベクトルAB・ベクトルACを用いて計算すると[ウ]と表される．したがって，点A´(x_1,ky_1)，B´(x_2,ky_2)，C´(x_3,ky_3)のなす三角形の面積をS_2とおくと，S_2はSの[エ]倍である．点P(x,y)は楕円E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1の上を動く点とする．k=a/bであるとき，点P´(x,ky)は原点を中心とする半径[オ]の円上を動く．したがって，相異なる3点A，B，Cが楕円E上を動くとき，△ABCの面積の最大値はa,bを用いて[カ]と表される．\begin{itemize}ア，イの解答群\begin{array}{lllll}\marua-1/2\phantom{AAA}&\marub-1/3\phantom{AAA}&\maruc1/3&\marud1/2\phantom{AAA}&\marue16/9\\\maruf-\frac{√3}{2}&\marug-\frac{√3}{3}&\maruh\frac{√3}{4}&\marui\frac{√3}{2}&\maruj\frac{3√3}{4}\\\maruk\frac{8√2}{9}&\marul\frac{2+√3}{4}&\marum\frac{√2(1+√3)}{3}&&\end{array}ウの解答群\mon[\marua]|(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|\mon[\marub]1/2|(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|\mon[\maruc]|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|\mon[\marud]1/2|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|\mon[\marue]|(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|\mon[\maruf]1/2|(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|\mon[\marug]\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}-{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)}\mon[\maruh]1/2\biggl[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}-{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)}\biggr]エの解答群\marua\frac{1}{k^3}\marub\frac{1}{k^2}\maruc1/k\marud2/k\maruek/2\marufk\marugk^2\maruhk^3オの解答群\begin{array}{lllll}\maruaa/2\phantom{AAA}&\marub\frac{a^2}{4}\phantom{AAA}&\maruca\phantom{AAA}&\maruda^2\phantom{AAA}&\marueab\\marufb/2&\marug\frac{b^2}{4}&\maruhb&\maruib^2&\maruj(ab)^2\phantom{\frac{{[]}^2}{2}}\end{array}カの解答群\begin{array}{lllll}\marua\frac{√3}{2}ab\phantom{AA}&\marub\frac{8√2}{9}ab\phantom{AA}&\maruc\frac{√3}{4}ab\phantom{AA}&\marud16/9ab\phantom{AA}&\marue\frac{3√3}{4}ab\\\maruf\frac{√3}{2}\frac{a^3}{b}&\marug\frac{8√2}{9}\frac{a^3}{b}&\maruh\frac{√3}{4}\frac{a^3}{b}&\marui16/9\frac{a^3}{b}&\maruj\frac{3√3}{4}\frac{a^3}{b}\end{array}\end{itemize}
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