獨協医科大学
2010年 医学部 第4問

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  4. 2010年 - 医学部 - 第4問
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原点をOとする座標平面上の動点Pの位置ベクトルベクトルOP=(x,y)が，時刻tの関数として，x=e^{-2t}cos2πt，y=e^{-2t}sin2πtで表されている．(1)点Pの速度ベクトルベクトルv=(dx/dt,dy/dt)の大きさは，|ベクトルv|=[]\sqrt{[]+π^2}e^{-2t}である．(2)ベクトルOPとベクトルvのなす角をαとするとき，cosα=\frac{[]}{\sqrt{[]+π^2}}であり，これは時刻tによらない一定値である．(3)nを自然数として，t=n-1からt=nまでの間に点Pが動く道のりS_nは，S_n=\sqrt{[]+π^2}(e^{[]}-[])e^{-2n}である．また，Σ_{n=1}^{∞}S_n=\sqrt{[]+π^2}である．(4)t=0からt=1/4までの間に点Pがえがく曲線と，x軸，y軸とで囲まれる図形の面積Iは，I=∫_a^bydx=∫_{1/4}^0ydx/dtdtで求められる．このときa=[]，b=[]で，I=∫_0^{1/4}e^{-4t}{sin[*]πt+π(1-cos[*]πt)}dtである．
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名古屋市立大学(2013) 理系 第1問
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