獨協医科大学
2014年 医学部 第4問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第4問
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行列A=r(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P_0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をP_nとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{OQ_n}となる点Q_nの座標を(x_n,y_n)とし，n→∞のときにx_n,y_nがともに収束する場合の点Q_nの極限値Q(\lim_{n→∞}x_n,\lim_{n→∞}y_n)を求めよう．(1)r=1/2，θ=π/3のとき，A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]}(\begin{array}{cc}[エ]&[オ]\[オ]&[エ]\end{array})であり，P_7の座標は(\frac{[カ]}{[キクケ]},\frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]})である．(2)E-Aが逆行列をもたないr,θ(r≧0,0≦θ＜2π)の条件は，r=[サ]かつθ=[シ]である．ただし，Eは単位行列とする．E-Aが逆行列をもつとき，nを2以上の整数とすると(E-A)(E+A+A^2+・・・+A^{n-1})=E-A^nよりE+A+A^2+・・・+A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n)また，(E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2rcosθ+1}(\begin{array}{cc}1-rcosθ&-rsinθ\rsinθ&1-rcosθ\end{array})であるから(E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2rcosθ+1}TとするとT=(\begin{array}{cc}1-rcosθ-r^n[ス]+r^{n+1}[セ]&-rsinθ+r^n[ソ]-r^{n+1}[タ]\rsinθ-r^n[ソ]+r^{n+1}[タ]&1-rcosθ-r^n[ス]+r^{n+1}[セ]\end{array})である．ただし，[ス]，[セ]，[ソ]，[タ]には，次の\nagamaruichi～\nagamarurokuの中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．\nagamaruichisinnθ\nagamarunicosnθ\nagamarusansin(n-1)θ\nagamarushicos(n-1)θ\nagamarugosin(n+1)θ\nagamarurokucos(n+1)θ0≦r＜1のとき，\lim_{n→∞}x_n,\lim_{n→∞}y_nはともに収束し，さらにθ=π/3とすると，Q=(\frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2})である．
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