獨協医科大学
2014年 医学部 第5問
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![関数f(x)=2x+cosxがある．xy平面上の曲線y=f(x)の0≦x≦π/2の部分をCとし，Cと直線y=2x，および直線x+2y=2で囲まれた領域をDとする．領域Dを直線y=2xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよう．（プレビューでは図は省略します）C上の点P(t,f(t))から直線y=2xに下ろした垂線と直線y=2xとの交点をQとする．線分PQの長さは\frac{|cost|}{\sqrt{[ア]}}であり，点Qのx座標はt+\frac{[イ]}{[ウ]}costである．これから，OQ=sとおくとs=\sqrt{[エ]}(t+\frac{[イ]}{[ウ]}cost)である．f´(x)=2-sinx＞0なのでf(x)は増加する．よって，求める体積VはV=∫_{\frac{2√5}{5}}^{\frac{√5π}{2}}πPQ^2ds=\frac{\sqrt{[オ]}π}{[カ]}∫_0^{π/2}(cos^2t-\frac{[キ]}{[ク]}cos^2tsint)dt=\frac{\sqrt{[ケ]}π^2}{[コサ]}-\frac{[シ]\sqrt{[ス]}π}{[セソ]}である．](./thumb/101/2273/2014_5.png?1)
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類題（関連度順）
コメント（2件）
2015-07-20 16:33:15
作りました。誘導があるものの、題材自体は「座標軸ではない直線周りの回転体の体積」ということで少し難しいです。そういう意味でやや難としました。誘導がなくても解けるくらいに学習しておけば（手順をマスターしておけば）、このテーマは完璧です。難しめの国立大学の問題としてもたまに見かけます。 |
2015-07-20 11:06:26
解答お願いします。 |
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