獨協医科大学医学部 2015年問題5

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$x＞-1で定義された関数f(x)は，等式(x+1)f(x)-∫_0^xf(t)dt=log(x+1)+x-1を満たしている．(1)このときf(0)=[アイ]であり，さらにf´(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}}である．(2)これをもとにf(x)を求めるとf(x)=[カ]-[キ]である．ただし，[カ]，[キ]には，次の\nagamaruichi～\nagamarurokuの中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．\nagamaruichilogx\nagamarunilog(x+1)\nagamarusanxlog(x+1)\nagamarushi1/x\nagamarugo\frac{1}{x+1}\nagamaruroku\frac{x}{x+1}(3)a＞0とする．関数g(x)=logxについて，区間[a,a+1]で平均値の定理を用いると，g(a+1)-g(a)=[ク]となる実数の定数cが区間[ケ]に存在する．これを用いると自然数mに対するf(e^m)とmの大小はf(e^m)[コ]mとなることがわかる．ただし，[ク]，[ケ]には，次の選択肢Iの\nagamaruichi～\nagamarushichiの中から，[コ]には，選択肢IIの\nagamaruichi～\nagamarusanの中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．選択肢I\nagamaruichic\qquad\nagamarunic+1\qquad\nagamarusan1/c\qquad\nagamarushi\frac{1}{c+1}\qquad\nagamarugologc\nagamaruroku[a,a+1]\qquad\nagamarushichi(a,a+1)選択肢II\nagamaruichi＜\qquad\nagamaruni＞\qquad\nagamarusan=(4)さらに∫_0^{e^x-1}f(t)dt=(x-[サ])(e^x-[シ])となるので，自然数nに対してp(n)=e^{2/3n}-1とおくと\lim_{n→∞}n∫_0^{p(n)}f(t)dt=\frac{[スセ]}{[ソ]}である．$