獨協医科大学医学部 2016年問題4

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$次の問いに答えなさい．ただし，[チ]には[X]～[Z]に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢\nagamaruichi～\nagamarurokuのうちから一つ選びなさい．複素数αをα=-7+4√3iとし，実数の数列{a_n}と{b_n}をa_n+4√3b_ni=α^n(n=1,2,3,・・・)で定める．ただし，iは虚数単位である．a_nとb_nをαとその共役な複素数\overline{α}で表すとa_n=\frac{α^n+(\overline{α})^n}{[ア]},b_n=\frac{α^n-(\overline{α})^n}{[イ]\sqrt{[ウ]}i}となるので，数列{a_n}と{b_n}は漸化式a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0・・・・・・①b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0\;\;\!\!・・・・・・②を満たす．これらを用いて，すべての自然数nに対してa_nとb_nが互いに素な整数である・・・・・・(*)ことを，数学的帰納法により証明する．(i)n=1,2のときa_1=[クケ],b_1=[コ],a_2=[サ],b_2=[シスセ]であるから，(*)が成り立つ．(ii)n=k,k+1のとき(*)が成り立つと仮定する．まず①,②より，a_{k+2},b_{k+2}は[X]である．ここで{a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n・・・・・・③がすべての自然数nで成り立つ．[ソタ]が[Y]であるから，a_{k+2},b_{k+2}が[Z]と仮定すると③より，これら2数は[ソタ]の倍数でなければならない．ところが，このとき①,②よりa_{k+1},b_{k+1}は[ソタ]の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，n=k+2のときも(*)が成り立つ．(i),(ii)より，すべての自然数nについて(*)が成り立つ．[チ]の選択肢\begin{array}{ccccccccc}&X&Y&Z&&&X&Y&Z\\nagamaruichi&　整数　&　素数　&　互いに素でない　&&\nagamaruni&　整数　&　素数　&　互いに素である　\\nagamarusan&　素数　&　素数　&　互いに素でない　&&\nagamarushi&　整数　&　整数　&　互いに素である　\\nagamarugo&　素数　&　整数　&　互いに素でない　&&\nagamaruroku&　素数　&　整数　&　互いに素である　\end{array}$