獨協医科大学
2016年 医学部 第5問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第5問
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xy平面上の放物線y=x^2の0≦x≦1に対応する部分の長さをLとする．Lの値を次のようにして求めよう．Lは定積分L=∫_0^1\sqrt{1+[ア]x^2}dxで定まる．この定積分を計算するためにx=\frac{e^t-e^{-t}}{4}として，置換積分を行う．このときdx/dt=\frac{e^t+e^{-t}}{4}であり\sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]}である．また，\frac{e^t-e^{-t}}{4}=1となるtの値をαとすると，xが0→1と変化するとき，tは[ウ]→αと変化するので，Lを定める定積分はL=\frac{1}{[エ]}∫_{\mkakko{ウ}}^α(e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}}dtとなる．ここでX=e^αとおくと，Xは2次方程式X^2-[カ]X-[キ]=0の解である．X＞0なのでX=[ク]+\sqrt{[ケ]}である．これを用いてαの値を定め，Lの値を計算するとL=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}log([ス]+\sqrt{[セ]})である．
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