愛媛大学
2014年 理学部・工学部 第4問

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  4. 2014年 - 理学部・工学部 - 第4問
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a,bは，0＜b＜aを満たす実数とする．曲線y=e^x上の点(0,1)における接線ℓ_1の方程式をy=f(x)，点(a,e^a)における接線ℓ_2の方程式をy=g(x)とおく．また，ℓ_1とℓ_2の交点のx座標をp(a)とする．連立不等式0≦x≦b,f(x)≦y≦e^xの表す領域の面積をS_1，連立不等式b≦x≦a,g(x)≦y≦e^xの表す領域の面積をS_2とし，R=e^{-b}S_2とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数kに対して\lim_{x→∞}x^ke^{-x}=0が成り立つことを用いてよい．(1)p(a)を求めよ．(2)S_1とS_2を求めよ．(3)t=a-bとする．Rをtのみの関数として表せ．(4)極限値\lim_{a→∞}(a-p(a))を求めよ．(5)b=p(a)とする．このとき，極限値\lim_{a→∞}\frac{S_2}{S_1}を求めよ．
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