愛媛大学
2014年 医学部 第5問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第5問
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nは自然数，p_0，p_1，・・・，p_nはp_0＞0，・・・，p_n＞0かつp_0+p_1+・・・+p_n=1を満たす定数とする．ポイント0,1,2,・・・,n-1,nが，それぞれp_0,p_1,p_2,・・・,p_{n-1},p_nの確率で得られる試行Tを考える．試行Tを1回行って得られるポイントの期待値をaとし，A=[a]+1とする．ただし，実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す．競技者は，試行Tを下記の各設問のルールに従って何回か行う．(1)kを1≦k≦nを満たす整数とする．競技者は，試行Tを以下のルールに従って最大2回まで行う．\mon[①]試行Tを1回行い，もしポイントがk以上であれば2回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．\mon[②]1回目のポイントがk未満であれば2回目の試行Tを行う．このとき，1回目のポイントは無効とし，2回目のポイントを賞金とする．このとき賞金の期待値をb_kとする．b_kを求めよ．(2)(1)の期待値b_kはkがAのとき最大となることを示せ．(3)mを1≦m≦nを満たす整数とする．競技者は，試行Tを以下のルールに従って最大3回まで行う．\mon[①]試行Tを1回行い，もしポイントがm以上であれば2回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．\mon[②]1回目のポイントがm未満であれば2回目の試行Tを行う．2回目のポイントがA以上であれば3回目の試行を行わない．このとき，1回目のポイントは無効とし，2回目のポイントを賞金とする．\mon[③]2回目のポイントがA未満であれば3回目の試行Tを行う．このとき，1回目，2回目のポイントは無効とし，3回目のポイントを賞金とする．このとき賞金の期待値をc_mとする．c_mを求めよ．(4)(3)の期待値c_mはmがB=[b_A]+1のとき最大となり，c_B≧b_Aであることを示せ．ただし，b_Aは(1)で求めた期待値b_kのk=Aのときの値である．(5)n=5とし，試行Tとして，5枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，b_k，c_mは上記で定義したものとする．(i)p_0，p_1，p_2，p_3，p_4，p_5，aを求めよ．(ii)(1)のように最大2回試行を行う場合，b_kの最大値を求めよ．(iii)(3)のように最大3回試行を行う場合，c_mの最大値を求めよ．
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大阪府立大学(2010) 理系 第1問
関連度：51.0
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