愛媛大学
2011年 医学部 第5問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第5問
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関数f(x)=cosx-xsinx,g_n(x)=(x+nπ)sinx-cosx(n=1,2,3,・・・)について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，0＜x＜π/2を満たすすべてのxについてtanx＞xが成り立つことを用いてよい．(1)すべての自然数n，実数xに対してg_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+nπ)が成り立つことを示せ．(2)自然数nに対して，方程式g_n(x)=0は0≦x≦πの範囲においてただ1つの解をもつことを示せ．(3)(2)におけるただ1つの解をx_nとする．x_nは0＜x_n＜\frac{1}{nπ}を満たすことを示せ．(4)y_n=nπ+x_n(n=1,2,3,・・・)とおく．定積分S_n=∫_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)|dxを，n,x_nおよびx_{n+1}を用いて表せ．(5)極限\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n}を求めよ．
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