福井大学
2012年 医学部 第4問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第4問
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行列A=(\begin{array}{cc}2&-3\3&2\end{array})で表される1次変換をfとする．fによって，点P_0(1,0)が移る点をP_1(x_1,y_1)，正の整数nに対して点P_n(x_n,y_n)が移る点をP_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする．原点をOとして，以下の問いに答えよ．(1)cos∠P_nOP_{n+1}の値を求めよ．(2)2以上の整数nで，直線OP_nが線分P_0P_1と交わる最小のnを求めよ．(3)iを虚数単位とする．0でない整数nに対して，実数a_n,b_nを(2+3i)^n=a_n+b_niにより定める．このとき次の等式A^n=(\begin{array}{cc}a_n&-b_n\b_n&a_n\end{array})が0でないすべての整数nに対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数mに対しA^{-m}=(A^m)^{-1}とする．
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