福井大学
2014年 医学部 第4問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第4問
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以下の問いに答えよ．(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．(i)等式∫_0^1t^ne^tdt=a_ne+b_nが成り立つ整数a_n，b_nがただ1組存在することを示せ．(ii)a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}の値を求めよ．(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫_0^{π/2}f(x)dx=∫_0^{π/2}f(π/2-x)dxが成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．∫_0^{π/2}\frac{sin3x}{sinx+cosx}dx
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