福井大学
2010年 医学部 第4問

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  4. 2010年 - 医学部 - 第4問
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pを0でない実数とし，行列A,Bをそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．A=\biggl(\begin{array}{cc}p-1/p&1\\2&-p\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\1/p&-1\end{array}\biggr)(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ．ただし，Eは2次の単位行列である．(2)AB=Cとおく．E+Cの逆行列が存在することを示し，さらに自然数mに対して等式E-C+C^2-C^3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}が成り立つことを示せ．(3)p=√3とし，自然数nに対しD_n=E-C+C^2-C^3+・・・-C^{6n-1}とおく．行列D_nの表す1次変換により点(2,3)が点(x_n,y_n)に移されるとする．x_nおよび\frac{y_n}{x_n}を求めよ．
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