福岡女子大学
2011年 国際文理（環境科学） 第4問

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  4. 2011年 - 国際文理（環境科学） - 第4問
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座標平面上で原点Oを中心に一定の角θで回転移動する1次変換をfとし，一定の正の数rで各点(x,y)を点(rx,ry)に移す相似変換をgとする．また，gとfの合成変換g\circfを表す行列をK(r,θ)とする．原点Oと異なる座標平面上の点P(a,b)に対して，点Q(c,d)を次で定める：(\begin{array}{c}c\d\end{array})=K(r,θ)(\begin{array}{c}a\b\end{array})次の問に答えなさい．(1)K(r,θ)を求めなさい．rをa,b,c,dを用いて表しなさい．(2)0°＜θ＜180°ならば，ad-bc＞0であることを示しなさい．(3)0°＜θ＜180°ならば，△OPQの面積が1/2(ad-bc)に等しくなる．このことを用いて，図のように，点P_1，P_2，P_3を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形△P_1P_2P_3の面積が1/2Σ_{i=1}^3(x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1})に等しいことを示しなさい．ただし，x_4=x_1，y_4=y_1とする．（プレビューでは図は省略します）
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