福岡女子大学
2015年 国際文理（国際教養） 第4問

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  4. 2015年 - 国際文理（国際教養） - 第4問
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どの頂角も{180}°より小さい四角形ABCD（図1）があり，線分ACと線分BDの交点をWとする．この四角形を2つの三角形△ABCと△ACDに分割し（図2），それぞれの三角形の重心をG_1，G_1´とする．また，同じ四角形を2つの三角形△ABDと△BCDに分割し（図3），それぞれの三角形の重心をG_2，G_2´とする．さらに線分G_1G_1´と線分G_2G_2´の交点をGとする．実数l,mはベクトルAC=lベクトルAB+mベクトルADを満たすとする．以下の問に答えなさい．(1)\overrightarrow{AG_1}，\overrightarrow{AG_1´}，\overrightarrow{AG_2}はそれぞれ，\overrightarrow{AG_1}=1/3(ベクトルAB+ベクトルAC),\overrightarrow{AG_1´}=1/3(ベクトルAC+ベクトルAD),\overrightarrow{AG_2}=1/3(ベクトルAB+ベクトルAD)となるが，\overrightarrow{AG_2´}をベクトルAB，ベクトルAC，ベクトルADを用いて表しなさい．(2)0＜p_1＜1,0＜p_2＜1に対して，線分G_1G_1´をp_1:1-p_1に内分する点をH_1とし，線分G_2G_2´をp_2:1-p_2に内分する点をH_2とする．このとき，\overrightarrow{AH_1}=(1-p_1)\overrightarrow{AG_1}+p_1\overrightarrow{AG_1´}\overrightarrow{AH_2}=(1-p_2)\overrightarrow{AG_2}+p_2\overrightarrow{AG_2´}となるが，特にH_1=H_2=Gとしたとき，p_1,p_2をl,mを用いて表しなさい．(3)(2)と同じくH_1=H_2=Gとしたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．\frac{G_1´G}{G_1G}=m/l=BW/DW（プレビューでは図は省略します）
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