福島大学理工 2018年問題3

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$ある銀行からお金を借りるとき，借入残高は1年ごとの複利法で計算される．複利法では，借入残高と年利率と返済額に応じて，1年後の借入残高が決まる．いま，d円を年利率rで借入れ，最初の返済は1年後でp円返済し，その後も毎年p円返済する場合，各年の借入残高は次のようになる．1年後：d(1+r)-p2年後：{d(1+r)-p}(1+r)-p=d(1+r)^2-p{(1+r)+1}\vdotsこのとき，次の問いに答えなさい．ただし，年利率rは正の値とし，返済終了まで一定とする．(1)3年後の借入残高をd,p,rを用いて表しなさい．(2)n年後の借入残高をd,p,r,nを用いて表しなさい．(3)100万円を年利率8%で借入れ，毎年10万円返済するとき，返済が終わるのは何年後かを求めなさい．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}5=0.6990とする．$