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以下の各問いに答えよ.(1)eは自然対数の底とし,aは正の実数とする.以下の問いに答えよ.(i)x>0で定義された関数f(x)=alogx-xの増減を調べ,極値を求めよ.(ii)\lim_{x→∞}x^ae^{-2x}=0を示せ.(iii)極限値\lim_{x→∞}∫_0^xt^2e^{-2t}dtを求めよ.(2)0<t<πとする.曲線C:y=sinx/2(0≦x≦π)上の点P(t,sint/2)におけるCの接線をℓ_1,点Pと原点を通る直線をℓ_2とする.以下の問いに答えよ.(i)接線ℓ_1とx軸との交点のx座標をtを用いて表せ.(ii)j=1,2について,直線ℓ_j,x軸および直線x=tで囲まれた三角形をx軸のまわりに回転させてできた円錐の体積をV_jとする.また,曲線C,x軸および直線x=tで囲まれた図形をx軸のまわりに回転させてできた回転体の体積をVとする.V_1,V_2およびVをtを用いて表せ.(iii)極限値\lim_{θ→0}\frac{θ-sinθ}{θ^3}を求めよ.ただし,\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1は利用してよい.
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