岐阜大学
2016年 理系 第4問

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  4. 2016年 - 理系 - 第4問
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nを正の整数とする．S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{k・2^k}とおく．以下の問に答えよ．ただし，logは自然対数を表す．(1)1+x+x^2+・・・+x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，x≠1とする．(2)∫_0^{1/2}(1+x+x^2+・・・+x^{n-1})dx=log2-∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dxを示せ．(3)S_n=log2-∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dxを示せ．(4)0≦∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dx≦\frac{1}{2^n}log2を示せ．(5)\lim_{n→∞}S_n=\frac{1}{1・2}+\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}+・・・の値を求めよ．
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