公立はこだて未来大学
2017年 理系 第4問

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  4. 2017年 - 理系 - 第4問
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mを正の整数とする．2つの整数a,bについて，aをmで割った余りとbをmで割った余りが等しいとき，aとbはmを法として合同であるといいa\equivb(\modm)と表す．pを素数，nを正の整数として，以下の問いに答えよ．(1)kはpより小さな正の整数とする．\comb{p}{k}k!をpで割った余りを求めよ．また，\comb{p}{k}をpで割った余りを求めよ．(2)(n+1)^p\equivn^p+1(\modp)であることを示せ．ここで，二項定理(a+b)^k=Σ_{l=0}^k\comb{k}{l}a^lb^{k-l}を証明なしに用いてよい．ただし，a,bは実数である．(3)n^p\equivn(\modp)を数学的帰納法により証明せよ．(4){2020}^{2017}を2017で割った余りを求めよ．ただし，2017は素数である．
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