聖マリアンナ医科大学
2018年 医学部 第4問
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![a,bは正の整数で互いに素とする.このとき,どんな整数nも適当な整数x,yを用いてn=ax+byという形に表されることが知られている.集合AをA={n\;|\;\begin{array}{l} nは整数であって,0以上の適当な整数x,yを用いて \\ n=ax+byという形に表される. \end{array}.}とおく.このとき,(a-1)(b-1)-1はAの要素ではないが,(a-1)(b-1)以上のどんな整数もAの要素であることを証明したい.以下の設問に対する解答を述べよ.(1)a=4,b=7の場合を考える.このとき,解答用紙(省略)にある0以上27以下の整数のうち,Aの要素であるすべての数を\bigcircで囲め.(2)nは整数とし,適当な整数x_0とy_0を用いて,n=ax_0+by_0と表す.このとき,y_0をaで割った余りをyとすると,適当な整数xを用いてn=ax+byという形に表されることを示せ.(3)n=(a-1)(b-1)-1とする.このとき,nはAの要素ではないこと,すなわち0以上のどんな整数x,yを用いても,n=ax+byという形に表すことができないことを背理法を用いて示せ.(4)nは(a-1)(b-1)以上の整数とする.このとき,nはAの要素であること,すなわち整数x,yを0≦y<aを満たすように選んでn=ax+byという形に表すと,x≧0であることを示せ.](./thumb/320/896/2018_4.png?1)
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大学(出題年) | 聖マリアンナ医科大学(2018) |
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文理 | 理系 |
大問 | 4 |
単元 | 整数の性質(数学A) |
タグ | |
難易度 | 未設定 |