浜松医科大学
2010年 医学部 第3問

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  4. 2010年 - 医学部 - 第3問
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座標平面上にP_0(1,0)を取る．P_0を通りy軸と平行な直線と曲線C:y=\frac{5x+3}{x+3}との交点をP_1(x_1,y_1)とする．次に，P_1を通りx軸に平行な直線と直線ℓ:y=xとの交点をP_2(x_2,y_2)とする．さらに，P_2を通りy軸と平行な直線とCとの交点をP_3(x_3,y_3)とし，P_3を通りx軸に平行な直線と直線ℓとの交点をP_4(x_4,y_4)とする．以下この操作を続けて点列P_5(x_5,y_5)，P_6(x_6,y_6)，・・・，P_n(x_n,y_n)，・・・を定める．このとき，次の問いに答えよ．(1)曲線Cのグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．(2)z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}(n=1,2,3,・・・)とおくとき，\frac{z_{n+1}}{z_n}を求めよ．(3)数列{z_n}はどのような数列か．また，その一般項z_nを求めよ．(4)数列{x_n}の一般項x_nを求めよ．さらに，極限\lim_{n→∞}x_nを求めよ．
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