浜松医科大学
2011年 医学部 第4問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第4問
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次の問いに答えよ．(1)3つの数2^{10}-1,3^{10}-1,4^{10}-1の積をy=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)として，全体集合Uと部分集合A,Bを次のように定める．\begin{array}{l}U={x\;|\;x　は　y　の正の約数　}\A={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　44　の倍数　}\B={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　45　の倍数　}\end{array}このとき，部分集合A∩\overline{B}に属する要素は，全部で何個あるか．以下，数列a_n=4^n-1(n=1,2,3,・・・)を考える．(2)次の命題Pを証明せよ．\underline{命題P}nが3で割り切れることは，a_nが9で割り切れるための十分条件である．(3)命題Pにおいて，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題Qをつくる．命題Qの真偽を答えよ．(4)9と11のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないようなa_nだけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られるa_nの部分列を小さい順に並べると，23番目の項は元の数列では第k項になるという．番号kを求めよ．
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