浜松医科大学
2016年 医学部 第1問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第1問
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自然数nのすべての正の約数の和を表す関数をf(n)，正の約数の個数を表す関数をg(n)とおく．ただし，1およびnもnの正の約数でありf(1)=g(1)=1とする．例えば，n=12のとき，nの正の約数は1,2,3,4,6,12なのでf(12)=1+2+3+4+6+12=28,g(12)=6である．以下の問いに答えよ．(1)f(24)，g(24)の値を求めよ．(2)g(n)の値が奇数となるnは，ある自然数の平方であることを証明せよ．\setlength{skip}{-6mm}以下の問題では，nは偶数とする．\mon[(3)]mを正の整数とし，n=2^{m-1}(2^m-1)とおく．このとき，2^m-1が素数ならばf(n)=2nとなることを証明せよ．\mon[(4)]平方数ではない偶数nがf(n)=2nを満たしているとする．このとき，nのすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
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