筑波大学
2014年 理系 第4問

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  4. 2014年 - 理系 - 第4問
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平面上の直線ℓに同じ側で接する2つの円C_1，C_2があり，C_1とC_2も互いに外接している．ℓ，C_1，C_2で囲まれた領域内に，これら3つと互いに接する円C_3を作る．同様にℓ，C_n，C_{n+1}(n=1,2,3,・・・)で囲まれた領域内にあり，これら3つと互いに接する円をC_{n+2}とする．円C_nの半径をr_nとし，x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，r_1=16，r_2=9とする．(1)ℓがC_1，C_2，C_3と接する点を，それぞれA_1，A_2，A_3とおく．線分A_1A_2，A_1A_3，A_2A_3の長さおよびr_3の値を求めよ．(2)ある定数a,bに対してx_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n(n=1,2,3,・・・)となることを示せ．a,bの値も求めよ．(3)(2)で求めたa,bに対して，2次方程式t^2=at+bの解をα,β(α＞β)とする．x_1=cα^2+dβ^2を満たす有理数c,dの値を求めよ．ただし，√5が無理数であることは証明なしで用いてよい．(4)(3)のc,d,α,βに対して，x_n=cα^{n+1}+dβ^{n+1}(n=1,2,3,・・・)となることを示し，数列{r_n}の一般項をα,βを用いて表せ．（プレビューでは図は省略します）
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