弘前大学
2010年 理系 第4問

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  4. 2010年 - 理系 - 第4問
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数列{a_n},{b_n}が次の条件を満たすとする．\begin{eqnarray}&&a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,・・・)\nonumber\\&&b_1=2,b_2=6,b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n(n=1,2,3,・・・)\nonumber\end{eqnarray}さらに行列AをA=\biggl(\begin{array}{cc}6&2\\2&2\end{array}\biggr)とする．このとき次が成り立つことを証明せよ．(1)nが2以上の偶数のとき，A^n=8^{n/2}\biggl(\begin{array}{cc}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{array}\biggr)(2)nが3以上の奇数のとき，A^n=8^{\frac{n-1}{2}}\biggl(\begin{array}{cc}b_{n+1}&b_n\\b_n&b_{n-1}\end{array}\biggr)
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