広島大学
2012年 理系 第1問

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  4. 2012年 - 理系 - 第1問
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行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)の表す1次変換によって，2点P(1,1)，Q(2,2)は連立不等式1≦x≦2,1≦y≦2の表す領域内の点P´，Q´にそれぞれ移されるものとする．ただし，a,b,c,dは正の実数でa＞cを満たすとする．次の問いに答えよ．(1)a+b=1およびc+d=1が成り立つことを証明せよ．(2)4点O(0,0)，R(a,c)，S(a+b,c+d)，T(b,d)を頂点とする平行四辺形ORSTの面積をpとするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．A\biggl(\begin{array}{c}b\\-c\end{array}\biggr)=p\biggl(\begin{array}{c}b\\-c\end{array}\biggr)(3)自然数nに対して，a_n,b_n,c_n,d_nを\biggl(\begin{array}{cc}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{array}\biggr)=A^n\biggl(\begin{array}{cc}1&b\\1&-c\end{array}\biggr)で定める．このときa_n,b_n,c_n,d_nをb,c,nおよび(2)のpを用いて表せ．(4)A^3=1/27\biggl(\begin{array}{cc}14&13\\13&14\end{array}\biggr)となるようにAを定めよ．
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