広島大学
2015年 理系 第2問

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  4. 2015年 - 理系 - 第2問
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座標平面上の放物線C_n:y=x^2-p_nx+q_n\qquad(n=1,2,3,・・・)を考える．ただし，p_n,q_nはp_1^2-4q_1=4,p_n^2-4q_n＞0\qquad(n=2,3,4,・・・)を満たす実数とする．C_nとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓ_nとする．また，C_nとx軸で囲まれた部分の面積S_nは\frac{S_{n+1}}{S_n}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})^3\qquad(n=1,2,3,・・・)を満たすとする．次の問いに答えよ．(1)C_nの頂点のy座標をℓ_nを用いて表せ．(2)数列{ℓ_n}の一般項を求めよ．(3)p_n=n√n(n=1,2,3,・・・)であるとき，\lim_{n→∞}nlog(-\frac{2q_n}{n^2})を求めよ．ただし，logxはxの自然対数である．
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