広島大学
2016年 理系 第3問

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  4. 2016年 - 理系 - 第3問
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複素数平面上を，点Pが次のように移動する．(i)時刻0では，Pは原点にいる．時刻1まで，Pは実軸の正の方向に速さ1で移動する．移動後のPの位置をQ_1(z_1)とすると，z_1=1である．(ii)時刻1にPはQ_1(z_1)において進行方向をπ/4回転し，時刻2までその方向に速さ\frac{1}{√2}で移動する．移動後のPの位置をQ_2(z_2)とすると，z_2=\frac{3+i}{2}である．(iii)以下同様に，時刻nにPはQ_n(z_n)において進行方向をπ/4回転し，時刻n+1までその方向に速さ(\frac{1}{√2})^nで移動する．移動後のPの位置をQ_{n+1}(z_{n+1})とする．ただしnは自然数である．α=\frac{1+i}{2}として，次の問いに答えよ．(1)z_3,z_4を求めよ．(2)z_nをα,nを用いて表せ．(3)PがQ_1(z_1),Q_2(z_2),・・・と移動するとき，Pはある点Q(w)に限りなく近づく．wを求めよ．(4)z_nの実部が(3)で求めたwの実部より大きくなるようなすべてのnを求めよ．
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