広島大学
2018年 理系 第4問

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  4. 2018年 - 理系 - 第4問
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0,1,2,3の数字が一つずつ書かれた4枚のカードがある．この中から1枚を取り出し，書かれた数字を見て元に戻す．この操作をN回繰り返し，カードに書かれた数字を順にZ_1,Z_2,・・・,Z_Nとする．ここで，Nは3以上の自然数である．さらに，複素数α=cos2/3π+isin2/3πを用いて，項数Nの数列{X_n}をX_1=α^{Z_1},X_{n+1}=X_nα^{Z_{n+1}}(n=1,2,・・・,N-1)により定める．n=1,2,・・・,Nに対し，X_n=αとなる確率をP_nとし，X_n=α^2となる確率をQ_nとする．次の問いに答えよ．(1)P_1を求めよ．(2)n=1,2,・・・,N-1とする．α^{Z_{n+1}}=1となる確率を求めよ．(3)n=1,2,・・・,Nとする．X_n=1となる確率を，P_nとQ_nを用いて表せ．(4)n=1,2,・・・,N-1に対し，P_nを用いてP_{n+1}を表せ．(5)n=1,2,・・・,Nに対し，P_nを求めよ．
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