横浜市立大学
2016年 医学部 第3問
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![関数y=tanxは,区間-π/2<x<π/2で単調増加である.したがって,この区間で逆関数を作ることが出来る.それをy=\phi(x)(-∞<x<∞)と書く(この逆関数を\mathrm{Arctan}xと書く参考書もある).正確を期すために,-π/2<\phi(x)<π/2としておく.以下の問いに答えよ.ただし,「-∞<x<∞」は「xは実数」という意味である.(1)関数f(x)をf(x)=\frac{1}{4√2}log\frac{x^2+√2x+1}{x^2-√2x+1}+\frac{1}{2√2}{\phi(√2x+1)+\phi(√2x-1)}とおく.f(x)の導関数f´(x)を求めよ.(2)積分∫_0^1\frac{1}{x^4+1}dxを求めたい.正確な値は求められないので,以下のようにする.即ち,関数G(x)で∫_0^1\frac{1}{x^4+1}dx=G(√2+1)となる関数を求めよ.(3)積分の等式∫_0^π\frac{xsinx}{1+cos^4x}dx=π∫_0^{π/2}\frac{sinx}{1+cos^4x}dxを示せ.(4)積分∫_0^{π}\frac{xsinx}{1+cos^4x}dxを求めよ.](./thumb/308/2359/2016_3.png?1)
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大学(出題年) | 横浜市立大学(2016) |
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文理 | 理系 |
大問 | 3 |
単元 | 積分法(数学III) |
タグ | |
難易度 | 未設定 |