京都府立大学
2014年 生命環境（環境・情報） 第2問

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  4. 2014年 - 生命環境（環境・情報） - 第2問
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p,qは自然数とする．α,βはα＞βを満たす2次方程式x^2-x-1=0の解とする．2つの数列{a_n}，{b_n}をa_1=0,b_1=1a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n(n=1,2,3,・・・)b_{n+1}=pa_n+qb_n(n=1,2,3,・・・)で定める．以下の問いに答えよ．(1)a_n＞0(n=2,3,4,・・・)かつb_n＞0(n=2,3,4,・・・)となることを示せ．(2)c_n=αa_n+b_n(n=1,2,3,・・・)，d_n=-a_n+αb_n(n=1,2,3,・・・)とおく．c_n=(pα+q)^{n-1}(n=1,2,3,・・・)かつd_n=α(pβ+q)^{n-1}(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．(3)pβ+q＞0のとき，\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}＞\frac{a_n}{b_n}(n=1,2,3,・・・)となることを示せ．
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