星薬科大学薬学部 2018年問題5

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$pとqをそれぞれ実数として，xy平面上の2つの放物線\begin{array}{l}C_1:y=2x^2\C_2:y=-x^2+px+q\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}が唯一つの共有点(1,2)をもち，その共有点での接線が一致している．さらに，tを正の実数とし，放物線C_2をx方向に-t，y軸方向に2tだけ平行移動して得られる放物線をC_3とする．次の問に答えよ．(1)p=[35]，q=-[36]である．(2)放物線C_1とC_3とで囲まれた部分の面積をS(t)とする．ただし，C_1とC_3とで囲まれた部分が無い場合にはS(t)=0とする．このときS(t)={\begin{array}{cl}\frac{4(-[37]t^2+[38][39]t)^{3/2}}{[40][41]}&(0＜t＜[42])\\0&(t≧[42])\end{array}.である．(3)t＞0においてS(t)はt=\frac{[43]}{[44]}で最大値[45][46]\sqrt{[47]}をとる．$