兵庫医科大学
2016年 医学部 第1問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第1問
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次の各問いに答えなさい．(1)ある高校で受験生100人に対して大学合格者数の調査をした．A大学，B大学，C大学，D大学，E大学，F大学の合格者数は，それぞれ5人，8人，10人，12人，15人，15人であった．これら6大学すべてに合格した受験生は3人で，E大学とF大学両方に合格した受験生は13人であった．6大学のうち少なくとも1つの大学に合格した受験生は，何人以上何人以下であるか求めなさい．(2)2種類の薬品A，Bがあり，それぞれの薬品1gあたりの成分P，Qの含有量は，下表のとおりである．この2つの薬品を混ぜ合わせて，成分Pを10mg以上，かつ，成分Qを30mg以上含むようにする．使用する薬品の質量の合計を最小にするためには，それぞれの薬品を何gずつ使用すればよいか答えなさい．ただし，薬品を組み合わせることによって，質量に影響をあたえる化学変化は起きないものとする．ただし，1mg=0.001gである．\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline&成分P&成分Q\\hline薬品A&3mg&2mg\\hline薬品B&5mg&1mg\\hline\end{tabular}\end{center}(3)tはt≠±1を満たす実数とし，xの方程式\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-t}=0を考える．(i)方程式が正と負の解を1つずつもつことを示しなさい．(ii)方程式の負の解をαとする．tがt＞1の範囲で変化するとき，αの存在する範囲を求めなさい．(4)1辺の長さが2の正三角形ABCがある．点B，Cから直線BCに関して点Aと同じ側に辺BCと垂直な半直線BX，CYを引く．半直線BX，辺AB，BC，CA，半直線CYの上にそれぞれ点P，Q，R，S，Tをとり，PQ\paraBC,cos∠BQR=√2cos∠BQP,∠BRQ=∠CRS,√2cos∠CST=-cos∠ASRとなるようにする．(i)∠CRSの大きさを求めなさい．(ii)BP=x，CT=yとするとき，xとyの間に成り立つ関係式を求めなさい．(5)1の目の反対側が6，2の目の反対側が5，3の目の反対側が4である立方体のサイコロがある．最初は1の目が上の面であるとする．このサイコロを横の面のいずれかが上になるように倒す．この操作を繰り返してn回目にどの目が上の面であるかを調べる．ただし，1回の操作で，4つの横の面のそれぞれが上の面になる確率は等しいとする．(i)n回目に2または5の目が上の面である確率p_nを求めなさい．(ii)n回目に1の目が上の面である確率q_nを求めなさい．
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