東京医科歯科大学
2013年 医学部 第3問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第3問
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m,nを自然数として，関数f(x)=x^m(1-x)^nを考える．このとき以下の各問いに答えよ．(1)0≦x≦1におけるf(x)の最大値をm,nを用いて表せ．(2)定積分∫_0^1f(x)dxをm,nを用いて表せ．(3)a,b,cを実数として，関数g(x)=ax^2+bx+cの0≦x≦1における最大値をM(a,b,c)とする．次の2条件(i),(ii)が成立するとき，M(a,b,c)の最小値をm,nを用いて表せ．(i)g(0)=g(1)=0(ii)0＜x＜1のときf(x)≦g(x)(4)m,nが2以上の自然数でm＞nであるとき\frac{(m+n+1)!}{m!n!}＞\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}＞2^{2n-1}が成立することを示せ．
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