東京医科歯科大学
2014年 医学部 第1問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第1問
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自然数nに対し，3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x_1,x_2,・・・,x_n)の全体の集合をS_nとおく．S_nの要素(x_1,x_2,・・・,x_n)に対し，次の2つの条件を考える．条件C_{12}：1≦i＜j≦nである整数i,jの組で，x_i=1，x_j=2を満たすものが少なくとも1つ存在する．条件C_{123}：1≦i＜j＜k≦nである整数i,j,kの組で，x_i=1，x_j=2，x_k=3を満たすものが少なくとも1つ存在する．例えば，S_4の要素(3,1,2,2)は条件C_{12}を満たすが，条件C_{123}は満たさない．S_nの要素(x_1,x_2,・・・,x_n)のうち，条件C_{12}を満たさないものの個数をf(n)，条件C_{123}を満たさないものの個数をg(n)とおく．このとき以下の各問いに答えよ．(1)f(4)とg(4)を求めよ．(2)f(n)をnを用いて表せ．(3)g(n+1)をg(n)とf(n)を用いて表せ．(4)g(n)をnを用いて表せ．
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