東京医科歯科大学
2012年 医学部 第1問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第1問
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数列{a_n},{b_n}を次のように定義する．{\begin{array}{l}a_1=5,b_1=3,\\(\begin{array}{c}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{array})=(\begin{array}{cc}5&3\\3&5\end{array})(\begin{array}{c}a_{n}\\b_{n}\end{array})(n=1,2,3,・・・)\end{array}.また，自然数nについてc_n=a_n^2-b_n^2とおく．このとき以下の各問いに答えよ．(1)c_nをnを用いて表せ．(2)kを自然数とするとき，自然数ℓについてa_{k+ℓ}=a_ka_ℓ+b_kb_ℓ,b_{k+ℓ}=b_ka_ℓ+a_kb_ℓが成立することを，ℓに関する数学的帰納法によって示せ．(3)n＞ℓとなる自然数n,ℓについてb_{n+ℓ}-c_ℓb_{n-ℓ}=2a_nb_ℓが成立することを示せ．(4)2以上の自然数nについてa_{2n}+Σ_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2}が成立することを示せ．
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